高中数学竞赛讲座20讲

　　竞赛讲座01　　－奇数和偶数　　整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示 ，奇数可用2k 1表示，这里k是整数.　　关于奇数

　　竞赛讲座01

　　－奇数和偶数

　　整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示 ，奇数可用2k 1表示，这里k是整数.

　　关于奇数和偶数，有下面的性质：

　　（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；

　　（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；

　　（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；

　　（4）若a、b为整数，则a b与a-b有相同的奇数偶；

　　（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.

　　以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.

　　1.代数式中的奇偶问题

　　例1（第2届华罗庚金杯决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？

　　□ □=□， □-□=□，

　　□□＝□ □□＝□.

　　解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.

　　例2 （第1届祖冲之杯数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组

　　是整数，那么

　　（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数.

　　（C）p是偶数，q是奇数 （D）p是奇数，q是偶数

　　分析 由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n 1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C）

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