高中数学对称问题分类探析(2)
A、关于y轴对称 B、关于直线x y=0对称 C、关于原点对称 D、关于直线x-y=0对称 解：在方程中以-x换x，同时以-y换y得 (-x)(-y)2-(-x)2(-y)=-2x，即xy2-x2y=2x方程不变 ｀曲线关于原点对称。 函数图象本身关于直线和点
A、关于y轴对称 B、关于直线x y=0对称
C、关于原点对称 D、关于直线x-y=0对称
解：在方程中以-x换x，同时以-y换y得
(-x)(-y)2-(-x)2(-y)=-2x，即xy2-x2y=2x方程不变
｀曲线关于原点对称。
函数图象本身关于直线和点的对称问题我们有如下几个重要结论：
1、函数f(x)定义线为R，a为常数，若对任意x∈R，均有f(a x)=f(a-x)，则y=f(x)的图象关于x=a对称。
这是因为a x和a-x这两点分别列于a的左右两边并关于a对称，且其函数值相等，说明这两点关于直线x=a对称，由x的任意性可得结论。
例如对于f(x)若t∈R均有f(2 t)=f(2-t)则f(x)图象关于x=2对称。若将条件改为f(1 t)=f(3-t)或f(t)=f(4-t)结论又如何呢？第一式中令t=1 m则得f(2 m)=f(2-m)；第二式中令t=2 m，也得f(2 m)=f(2-m)，所以仍有同样结论即关于x=2对称，由此我们得出以下的更一般的结论：
2、函数f(x)定义域为R，a、b为常数，若对任意x∈R均有f(a x)=f(b-x)，则其图象关于直线x= 对称。
我们再来探讨以下问题：若将条件改为f(2 t)=-f(2-t)结论又如何呢？试想如果2改成0的话得f(t)=-f(t)这是奇函数，图象关于(0,0)成中心对称，现在是f(2 t)=-f(2-t)造成了平移，由此我们猜想，图象关于M(2，0)成中心对称。如图，取点A(2 t，f(2 t))其关于M(2，0)的对称点为A′(2-x，-f(2 x))
∵-f(2 X)=f(2-x)｀A′的坐标为(2-x，f(2-x))显然在图象上
｀图象关于M(2，0)成中心对称。
若将条件改为f(x)=-f(4-x)结论一样，推广至一般可得以下重要结论：
3、f(X)定义域为R，a、b为常数，若对任意x∈R均有f(a x)=-f(b-x)，则其图象关于点M(，0)成中心对称。
作者简介
潭玉石：2001—2006年在湖南省一重点中学任校长，2006年至今任中山市杨仙逸中学校长。中学数学特级教师，广东省普通中学教学水平评估专家。
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