高考中探索性问题的题型分析(3)
例1 有两个不是常数数列的等差数列{an}和等比数列{bn}，且a1=b1=l，那么它们最多有多少个对应项的值相等?你能举出具体的例子吗? 解析 根据题意，要找出有多少个对应项的值相等，可以分别设数列的通项 an=1 (n-1)d (
例1 有两个不是常数数列的等差数列{an}和等比数列{bn}，且a1=b1=l，那么它们最多有多少个对应项的值相等?你能举出具体的例子吗?
解析 根据题意，要找出有多少个对应项的值相等，可以分别设数列的通项
an=1 (n-1)d (公差d≠0)．
bn=qn-1(公比q≠0，1)．
由对应项的值相等an=bn，有1 (n-1)d = qn-1．
于是，问题归结为讨论这个关于n(n∈N*)的方程解的个数，这个结果不易直接得出．怎么办呢?如果换位思考，用数形结合的思想去探索，则可以转化为两个函数的图象自变量取正整数时交点的个数，这个问题就变得很具体了．
令y1=1 (n-1)d (d≠O)，
y2= qn-1 (q≠0，1)．
函数y1的图象是直线上自变量取正整数的点；函数y2的图象是指数函数的图象右移1个单位，且白变量取正整数的点．显然两者的图象均过点(1，1)．
图l
(1)q0，且q≠1时，①若d0，y1单调递增，则仅当ql时，y1与y2可能再有交点，且最多再有一个(如图l)；②若d0，y1单调递减，则仅当0 (2)q0，y2=qn-1对应的点分别在y=|q|n-1和y=-|q|n-1两个函数的图象上，y1与y2的图象最多再有2个交点(如图3)． 综上所述，两数列中对应项相等的项不超过3个． 图2 特别地，选取等差数列{an}：1, , ,- ,… 等比数列{bn}：l，- ， ，- ,… 其中，a1=b1=1,a3=b3= ,a4=b4=- ,… 点拨 本题运用两次等价转化思想，把问题转化为两个函数图象自变量取正整数交点的个数，然后再运用数形结 图3 合思想予以探索解答．转化思想和数形结合思想在解决数学问题中经常应用．
二、题设开放型
题设开放型探索性问题的特点是给出结论，不给出条件或条件残缺，需在给定结论的前提下，探索结论成立的条件，但满足结论成立的条件往往不唯一，答案与已知条件对整个问题而言只要是充分的、相容的、独立的．就视为正确的．解决这类问题的总体思路是：采用分析法，把结论看作已知进行逆推，探索结论所需的条件．
例2 如图，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形 A
ABCD满足条件___________ 时，有A1C⊥B1D1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有的情形)．
解析 题目给出了部分条件及确定的结论，要求深入认识其内在联系，填写能得到结论的一种条件．
∵A1B1C1D1ABCD是直四棱柱．
∴A1A⊥底面ABCD，B1B与D1D平行且相等．而AC是A1C在底面ABCD上的射影，
B1D1∥BD，
要使A1C⊥B1D1，只要A1C上BD，进而只需AC⊥BD．
这就是底面ABCD所需满足的条件．
点拨 填写四边形ABCD是正方形、菱形皆可．因为这些特殊四边形都包含着本题所需的本质：AC⊥BD．AC⊥BD是结论A1C⊥B1D1成立的充要条件，而所填的ABCD是正方形或菱形则是使结论A1C⊥B1D1成立的充分而不必要的条件．
三、全开放型
题设、结论都不确定或不太明确的开放型探索性问题，与此同时解决问题的方法也具有开放型的探索性问题，需要我们进行比较全面深入的探索，才能研究出解决问题的办法来．
例3 某自来水厂要制作容积为500 m3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料：①19×19；②30×10；③25×12．(长度单位：m)．
请你选择一种规格的材料，并设计出相应的制作方案．(要求：①用料最省；②简便易行)．
解析 要求设计方案满足“用料最省”，即使无盖水箱的表面积最小．如图1，该水箱的长、宽、高分别为a、b、c.
则其体积V=abc=500(m3)． 图1
其表面积S=2bc 2ac ab≥3 =3 =300(m2)，
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